caso 3. Trinomio Cuadrado Perfecto

Tema: Casos de factoreo

Caso 1. Factorización por factor común (caso monomio)

Regla: 

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

Concepto:

Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.

  Un Ejemplo:

Como puede verse el cinco es el común numérico y la “x” la única letra común en este polinomio, como dos es el menor exponente de “x” es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el factor común 5x2.
Nos queda como respuesta:

Ejercicios Resueltos:

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)

7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = x². (7 + 11x - 4x³ + 3x² - x⁶)

9x³ - 6x² + 12x⁵ - 18x⁷ = 3x². (3x - 2 + 4x³ - 6x⁵)

9x²ab - 3xa²b³ + x²az = xa. (9xb - 3ab² + xz)

36x⁴ - 48x⁶ - 72x³ + 60x⁵ = 12x³. (3x - 16x³ - 6 + 5x²) 

8a - 4b + 16c + 12d = - 4. (- 2a + b - 4c - 3d)
(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x² = (x + 1). (3 - 5x + x²)
5x⁴ - 2x³ - 3x + 4 = 5. (x⁴ - 2/5 x³ - 3/5 x + 4/5)
3a + 2b - 5c + 9d = 7. (3/7 a + 2/7 b - 5/7 c + 9/7 d)   

4/3 x - 8/9 x³ + 16/15 x⁷ - 2/3 x⁵ = 2/3 x. (2 - 4/3 x² + 8/5 x⁶ - x⁴) 

Ejercicios por resolver:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

 Imagenes :

 

 Video Resolucion del primer caso: 

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Regla:

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de lasvariables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor comúnno solo cuenta con un término, sino con dos.

Concepto:
Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.
 


Un Ejemplo:
Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará mas sencillo el resolver estos problemas.
2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b
Agrupo los términos que tienen un factor común:
(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )
Saco el factor común de cada grupo:
a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:
( 2x -y +5 )(a + b)

Ejercicios Resueltos:

17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)  = (17x +3y +7z)(a – m)

m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1] = (x + 2)(m + 3 – 1)
ax +bx +ay +by = (a+b)(x+y)
3m^2 -6mn +4m -8n = (m-2n)(3m+4)
a^2+ab+ax+bx = (a+b)(a+x)
 am-bm+an-bn = (a-b)(m+n)
3m-2n-2nx^4+3mx^4 = (3m -2n)(1 +x^4)

x^2 -a^2 +x -a^2x = (x-a^2)(x+1) 

ax-2bx-2ay+4by = (a-2b)(x-2y)

am-bm+an-bn = (a-b)(m+n)   

Ejercicios por resolver: 
1

2

3

4

5

6

7

8 x² + (7 − x)² = 25

9 7x² + 21x − 28 = 0

10 −x² + 4x − 7 = 0

Imagenes:

Video Resolucion segundo caso :

 

caso 3. Trinomio Cuadrado Perfecto

Regla:

“El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de tres términos: el primero es el cuadrado del primer término, el segundo es el doble del producto de dos números y el tercero es el cuadrado del segundo número.”

Concepto:

Un trinomio se reconoce como "trinomio cuadrado perfecto" si dos de sus términos son cuadrados perfectos, es decir, cada uno es el resultado de elevar una expresión al cuadrado y el otro término es el doble producto de dichas expresiones (sin elevar al cuadrado).


Ejercicicios resueltos:

1) a^2 -2ab +b^2 = (a -b)^2

– Raíz cuadrada de a^2 = a ; raíz cuadrada de b^2 = b

–> el binomio es: (a -b)

Por lo tanto (a-b)(a-b) = (a -b)^2 <– Solución


2) a^2 +2ab +b^2 = (a +b)^2

Raíz cuadrada de a^2 = a ; raíz cuadrada de b^2 = b

–> el binomio es: (a +b)

Por lo tanto (a+b)(a+b) = (a +b)^2 <– Solución


3) x^2-2x+1 = (x -1)^2

Raíz cuadrada de x^2 = x ; raíz cuadrada de 1 = 1

–> el binomio es: (x -1)

Por lo tanto (x-1)(x-1) = (x -1)^2 <– Solución.

ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)\,= a(b+c)+d(b+c)\,= (a+d) (b+c)

Ejercicios por resolver:

1 16y² + 24y + 9 =

2 36a² - 12a + 1 =

3 4x² + 20xy + 25y² =

4 16x² - 25y² =

5 144 - x²y² =

6 36 - 25a² =

7 25 - 4a² =

 8 16m²n² - 9p² =

9 x² - 4x + 3 =

10 x² - 2x - 15 =

11 x² - 7xy - 18y² =

12 12 - 4x - x² = 

Imagenes 

Video Resolucion del tercer caso :

CUATRINOMIO CUBO PERFECTO (CUARTO CASO)

Regla: 

 el triploducto del cuadrado de la primera base por la segunda, el triple producto de la primera base 

El triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda, el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segundo, Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado, Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases. 

Concepto:

Se reconocen los cubos perfectos, calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases, Luego se calcula.

Ejercicos Resueltos:

x³   +   6x²   +   12x   +   8  =  (x + 2)³

x                                  2
         3.x².2     3.x.2²
          6x²         12x

2 x³   -   9x²   +   27x   -   27  =  (x - 3)³

x                                 -3
     3.x².(-3)    3.x.(-3)²
        -9x²          27x

  

3 -x³    -    75x    -    15x²    -    125 = (-x - 5)³

-x                                          -5
       3.(-x)².(-5)   3.(-x).(-5)²
            -15x²        -75x 

4 64x³  +  144x²  +  108x  +  27 = (4x + 3)³

4x                                   3
          3.(4x)².3   3.4x.3²
            144x²     108x 

5 a³b³  +  3a²b²x  +  3abx²  +  x³ = (ab + x)³

ab                                     x
         3.(ab)².x    3.ab.x²
          3a²b²x      3abx²
  x⁶ +  6x⁴  +  12x²  +  8 = (x² + 2)³

x²                           2
     3.(x²)².2  3.x².2²
         6x⁴        12x²

3/4 x⁴y²    -    1/8 x⁶y³   + 1  -  3/2 x²y = (-1/2 x²y + 1)²

                    -1/2 x²y      1
3.(-1/2 x²y)².1                      3.(- 1/2 x²y).1²
3/4 x⁴y²                                        -3/2 x²y

5x³    +    6x²     +    12 x    +    8 = ( x + 2)³

x                                                 2
          3.(x)².2         3.x.2²
             3..x².2       12x
               6x²

^{Ejercicos por resolver:}

 x³   +   6x²   +   12x   +   8 

^{x3   -   9x2   +   27x   -   27 
-x3    -    75x    -    15x2    -    125 
x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3} 

2) a⁶ + 3 a⁴ + 3 a² + 1

3) 64 m⁶ + 96 m⁴ n + 48 m² n² + 8 n³

4) x³ - 15 x² + 75 x - 125         

5) 125 + 225 b³ + 135 b⁶ + 27 b⁹

6) 1/8 m³ n⁶ + 1/2 m² n⁴ x² y + 2/3 m n² x⁴ y² + 8/27 x⁶ y³

7) x³y³ - 3 x²y² + 3 x y - 1

8) 1 - 3 a + 3 a² - a³

 

 ^Imagenes:

 

Video resolicion del cuarto caso

DIFERENCIA DE CUADRADOS (QUINTO CASO)

Regla: 

Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.

 Ejercicios resueltos:

 

Ejercicios por resolver:

1) r² - x²                       

2) 25 h² - r²         

3) a² - 81             

4) h² - 9 b² 

5) x⁴ - y⁴                       

6) a² b² - m² n⁴       

7) a² b² - 4

8) (1 - a)² - (1 + a)²

^Imagenes:

 

 Video resolucion del quinto caso:

   

Caso VI  Trinomio de la forma  x 2+ bx + c

Regla:

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno deellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales secolocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den comoresultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den comoresultado el término del medio.

 Ejercicios resueltos:

  

Ejercicios por resolver:

 1. 4x² - 7x - 2 = 0
2. 9x² - 81x + 50
3. 18x² - 17x -187
4. - 4x² + 4x + 3 
5. 6x² - x – 2
6. 6x² - 2x – 4 

7. 3x² + 8x – 35
8. 9a² + 9ab - 18b²
9. 4x² +17x -15
10. 15x² + x - 2
11. 7x² + 13x – 2
12. 6x² + 17x + 10

Imagenes:

 

  

 Video resolucion de sexto caso:

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n

Regla:

La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):
Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

Caso VIII - Trinomio de la forma ax² + bx + c

Imagenes:

 

 Video de la resolucion:

 

 

Caso 8. Cubo Perfecto de Binomios 

Regla:

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término(4x²) :


Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :


Después procedemos a colocar de forma completa el término x² sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x² :
 :
Queda así terminada la factorización :
 :

Ejercicios Resueltos:

 

Ejercicios por  resolver :

1)  Factorar   a^3  +3a^2  +3a  +1
Raíz cúbica de  a^3 = a      ;       raíz cúbica de   1    =  1
2° término:   3(a)^2(1) = 3(a^2)(1) = 3a^2   OK
3° término:   3(a)(1)^2 = 3(a)(1) = 3a  OK
Signos positivos –>  (a+1)^3
Por lo tanto:   a^3  +3a^2  +3a  +1 = (a+1)^3  Solución.
—————————————————————————————-
2) Factorar     27 -27x +9x^2 -x^3  (Está ordenado de menor a mayor grado)
Raíz cúbica de     27 = 3       ;       raíz cúbica de   x^3 = 
2° término:  3(3)^2(x) =3(9)(x) =
3° término :  3(3)(x)^2 = 3(3)(x^2) =
Signos alternos (x, -, +, -) –>  (3 -x)^3
Por lo tanto:   27 -27x +9x^2 -x^3  = 
———————————————————————————————
3) Factorar   m^3  +3m^2n  +3mn^2  +n^3
Raíz cúbica de m^3 = n       ;       n^3 =m
2° término:  3(m)^2(n) = 3(m^2)(n) = 3
3° término:  3(m)(n)^2 = 3(m)(n^2) =
Signos positivos –>  (m+n)^3
Por lo tanto:  m^3  +3m^2n  +3mn^2  +n^3 =
———————————————————————————————
4) Factorar    1  -3a  +3a^2  -a^3
Raíz cúbica de  1 = 1       ;      raíz cúbica de  a^3 = a
2° término:  3(1)^2(a) = 3(1)(a) =
3° término:  3(1)(a)^2 = 3(1)(a^2) =
Por lo tanto:  1  -3a  +3a^2  -a^3 =
 Imagenes:

 

 

Video resolucion del Octavo caso:

 Caso IX

- Cubo perfecto de Tetranomios
Regla: Binomio al Cuadrado: Es la Suma o Diferencia de 2 Cantidades elevadas al Cuadrado (a ± b)², que cumples ciertas reglas, que se señalan, abajo

Aprendete esta Regla: (x + 2)²
▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

El Cuadrado del 1er Termino: (x) = x²

+ el Doble del 1er Termino por el 2do Termino: (2x) (2) = + 4x

+ el Cuadrado del 2do Termino: (2)² = 4

Resultado: (x + 2)² = x² + 4x + 4
▀▀▀▀▀▀▀

Binomio al Cuadrado (x - 6)² de la Diferencia de 2 Cantidades

Aprendete esta Regla: (x - 6)²
▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀▀

El Cuadrado del 1er Termino: (x) = x²

- el Doble del 1er Termino por el 2do Termino: ( - 2x) (6) = - 12x

+ el Cuadrado del 2do Termino: (6)² = 36

Resultado: (x - 6)² = x² - 12x + 36
▀▀▀▀▀▀▀
Ejercicios resueltos:  1) (3x+8)º3=
(3x)º3+3.(3x)º2.8+ 3.3x.8º2+8º3=
27xº3+216xº2+567x+512

2)(2xº2+3)º3=
(2xº2)º3+3.(2xº2)º2.3+3.2xº2+3º2+3º3=
8xº6+18xº4+54xº2+9

3)(x+5)º3=
xº3+75xº2+75x+125

4)(xº2-8)º3=
(xº2)º3+3.(xº2)º2.(-8)+3.xº2.(-8)º2+(-...‡
xº6-24xº4-192xº2-512

5)(2x-7)º3=
4xº3-84xº2-294x-343  Ejericios por resolver: 

Imagenes   

 Video De la resolucion

 

 

Caso X:    Suma o Diferencias de Potencias Iguales.

 
Regla:

Suma o diferencia de potencia impares iguales
Regla para  La suma  de dos potencias impares iguales (m^5+n^5)es  igual a dos factores:
el primero es la suma de las raíces de los términos (m+n)
el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  menos el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  menos el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta. (m^4 – m^3n + m^2n^2 – mn^3 + n^4)
Regla para  La diferencia  de dos potencias impares iguales (m^5 – n^5)es  igual a dos factores:
el primero es la diferencia de las raíces de los términos (m-n)
el segundo es el primer término elevado a la 5-1=4,  más el 1º término  elevado a la 5-2= 3 por el 2º término elevado a la 1,  más el 1º término elevado a la 5-3=2 por el 2º término elevado al cuadrado,  más el 1º término elevado a la 5-4=1 por el 2º término elevado al cubo,  más el 2º término elevado a la cuarta.
(m^4 + m^3n + m^2n^2 + mn^3 + n^4)
Ejemplo:
Factorar    x^5 +32
1º  Encontramos la raíz quinta de los términos:
raíz quinta de x^5 = x          ; raíz quinta de 32 = 2  
2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x +2)
3º  Formamos el segundo factor:   (x^4 – x^3(2) +x^2(2)^2 – x(2)^3 + (2)^4) = (x^4 – 2x^3 + 4x^2 – 8x + 16)
–> x^5 +32  =  (x +2)(x^4 – 2x^3 + 4x^2 – 8x + 16)  Solución
Factorar    x^7 – 1
1º  Encontramos la raíz séptima de los términos:
raíz séptima de x^7 = x          ; raíz séptima de 1 = 1  
2º  formamos el primer factor con las raíces:   (x – 1)
3º  Formamos el segundo factor:
(x^6 + x^5(1) + x^4(1)^2 + x^3(1)^3 + x^2(1)^4 +x(1)^5 + (1)^6) =
 = (x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x +1) –>
–> x^7 -1  =  (x – 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x +1)  Solución

Ejercicios  resueltos

A = 10 x² - 5 - 3x⁴ + 2x³
B = x + 2

A:B = (10x² - 5 - 3x⁴ + 2x³) : (x + 2) =



A = -4x⁴ + 30x + x⁵
B = x - 3



A : B = (-4x⁴ + x⁵ + 30x)  :(x - 3)
A = 2x - x⁷
B = x + 1

A : B = (2x - x⁷):(x + 1)
 

A = -3x + 5/2
B = x - 4

A : B = (-3x + 5/2):(x - 4)
A =  x⁵ + y⁵
B = x + y

A : B = (x⁵ + y⁵):(x + y)
 

 Ejerccios por resolver:

  Imagenes:







Video de la resolucion: